Lo primero que debe aclararse es que la historia no es una ciencia exacta, y por tanto cuando se dice que tal personaje existió -o que no existió- se está hablando desde una gran aproximación a la certeza, pero nunca desde una certeza del 100%. Esto, que vale para cualquier personaje histórico, mucho más debe aplicarse a aquellos que para su entorno eran personas sencillas y comunes, como los mártires, cuya relevancia se adquirió no durante su vida, sino en un reconocimiento posterior.
Al estado actual del conocimiento histórico sobre las dos Eulalias, lo que puede afirmarse con razonable certeza es que la de Mérida fue un personaje histórico, mientras que la de Barcelona parece ser una duplicación popular (bastante habitual) de la de Mérida.
Por ese motivo la edición 2004 del Martirologio Romano quitó la de Barcelona, y dejó sólo la de Mérida. No obstante eso, en el ámbito local (es decir, en Barcelona) se autoriza el culto a la santa Eulalia local, porque está firmemente arraigado.
Ya ha pasado en otros casos que un santo retirado del calendario santoral, es luego repuesto porque aparecen nuevas pruebas que inclinan la certeza hacia el lado del sí, más que del no. Por eso no sería extraño si este juicio que digo ahora cambia más adelante, pero de momento la cuestión está así.
Para santa Eulalia de Mérida remito a este artículo, mientras que para la de Barcelona, a este.
En cuanto a la segunda parte de la pregunta, ¿a cuál santa Eulalia está dedicada la iglesia de Murcia? No lo sé yo, no conozco la iglesia de la pregunta, ni la imagen de santa Eulalia que haya allí. En principio, y por la geografía de la difusión del culto a santa Eulalia, me atrevería a suponer que es a la de Mérida, que es la más difundida por toda España, mientras que la de Barcelona es más local.
Algunos detalles de la imagen pueden ayudar a diferenciarlas: la de Barcelona es colgada en una cruz de San Andrés (en forma de X), mientras que no hay nada especificado en la de Mérida; a la de Barcelona le crece el pelo para tapar su desnudez, mientras que en el caso de la de Mérida, cae una copiosa nieve que la "viste". Estos detalles iconográficos no son absolutos (podría en una imagen concreta la de Mérida adquirir algunos rasgos de la de Barcelona, y viceversa), pero en general son bastante orientativos.
La igleis de Murcia está dedicada a "Santa Eulalia de los catalanes", así est´reseñada en los antiguos documentos. El relieve que hay sobre la puerta la representa con la cruz de San Andrés, simbolo del martirio de esta santa catalana